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本案例研基于Valuing Employee Stock Options: Under 2004 FAS 123R(见Wiley Finance，2004)。此处我们运用了FASB软件，这种软件被用于在FAS 123R的A87部分中创建评估的示例。
行政概要
2004年12月，FASB公布了最终校订后的《国家财务会计准则123》(FAS 123R,也被简称为FAS 123)，它针对基于股权的支付，修订了1995年10月发布的FAS 123和95，这被华尔街认为是财务会计理事会(FASB)在其30年的历史中做出的影响最为深远的行动。该法案规定，从2005年6月15日起，所有新的和部分现存的员工股票期权将被以成本计入会计账簿。正如此项标准所预期的那样，许多公司(诸如GE和可口可乐)已经自愿地在设置ESOs时，将其计入成本;而数以百计的其他公司却仍然对它们的ESOs进行估值。
本案例研究的目的是让读者更好地了解FAS 123选择的方法(二叉树模型)的估值运用。我们将对该方法进行系统化的、目标化的评估，并且将其与Black-Scholes模型(BSM)的结果进行比较。本案例研究表明，FAS 123可以进行精确的估值。此处的分析运用了传统的二叉树模型，并且考虑了现实条件下可能发生的情况(例如：保留退休金的权利、员工选择次优方案的行为、作废的费率、整个声明过程中ESO的波动性)。本案例引入了FAS 123的概念，并且给出了不同的ESO估值方法(闭合形式的BSM、二叉树、Monte Carlo模拟)以及它们的影响。我们发现，通过使用满足FAS 123要求的正确的方法，各公司可以消减每年数百万美元的成本。因为这避免了不必要的对幼稚的BSM的估值，并且使用了经过校正后的自定义的二叉树模型(它考虑了会计次优行为、作废的费率、保留退休金的权利、中断的日期、随着时间而改变的输入值)。
介绍
在满足FAS 123要求的条件下，被选为计算公平市场ESO估值的方法是二叉树模型，但是批评家认为各公司并不具有内部资源和数据从而运行复杂的估值(这种估值既要与新的要求相符合又要能够通过审查)。基于作者于2003年提交给FASB董事会的研究报告，我们可以得出如下结论：BSM在理论上是正确的也是优美的，但是当把它运用于对公平市场的ESOs估值进行定量分析时，它就既不适用也不正确。这是因为BSM只有在欧式期权没有红利时才适用(欧式期权的持有者只有在期权到期时才会执行期权并且潜在的股票并不能支付任何红利)。然而，事实上大多数ESO是带有红利的美式期权(期权持有者可以在包括到期日的任意时点执行期权并且潜在的股票支付红利)。此外，在现实的条件下，ESOs可以让员工在执行期权前拥有等待期权的权利，这在公司中随时可能发生。这是因为员工可能提前离开公司或在达到既定周期前预先结束。此外，某些期权具有tranching或graduated scale，这样使得股票期权中一定的百分比将每年都有可能被执行。同样地，一些员工会表现出不理性的行为，他们只在期权价值超出合约价格数倍时才执行期权，即他们选择的是次优的行为。另一方面，期权价值可能会对期望的经济环境很敏感，由于利率具有期限结构，无风险利率在期权的生命周期中可能发生变动。最后，一些公司可能会经历重组(资产剥离、合并、收购都会影响标的股票的波动性)。考虑到这些因素，当把BSM运用于公平市场时，它就显得不适用也不恰当了。总的来说，公司可以实施一系列行动，从而影响期权的价值。闭合形式的模型(如BSM)或一般的Black-Scholes模型(GBM)(后者要求红利收益)是不稳定的，并且不能够被修正以适应于真实环境。因此，我们选择二叉树模型。
在某些特定条件下(没有红利的欧式期权)，运用二叉树模型和Monte Carlo模拟得到的结果与运用BSM所得到的结果相同，这表明前两种方法是优良的并且其极限是精确的。然而，当具体条件发生改变时(作废的概率、员工离职或中止工作时间的概率、选择次优行为)，只有二叉树模型具有高度的稳定性并且可以给出ESO的公平市场价值。BSM只考虑以下的输入信息：股票价格、合约价格、到期日、无风险利率以及波动性。GBM考虑了以上所有的输入值以及红利的分配率。因此，根据FAS 123的要求，BSM和GBM不适用于现实状况。相比起来，二叉树模型可以被改造，从而包括股票价格、合约价格、到期日、单一无风险利率(或随时间而改变的多重无风险利率)、单一波动性(或随时间而改变的多重波动性)、单一红利分配率(或随时间而改变的多重红利分配率)、所有的现实因素(主要包括：转换周期、提前执行期权的次优行为、中断周期、作废率、股票价格以及业绩障碍、其他出现异常的可能性)。我们注意到，如果忽略这些现实条件，运用二叉树模型得到的结果与运用GBM得到的结果相同。
对于二叉树模型，最重要的也最具有说服力的论据如下：①FASB需要它并认为二叉树模型是进行ESO估值的好方法。②二叉树模型可以通过恰当地反映现实条件，从而大量减少ESO的成本。以下是FAS 123的例子，其旨在探讨对二叉树模型的运用。
B64. 正如A10-A17中所讨论的，闭合形式的模型是一种可以用于预测员工股票期权的公平市场价值的方法。然而，二(多)叉树模型可以适应于无风险利率的期限结构、期望的波动率、期权到期之前期望的红利变动。二(多)叉树模型同样可以适应于估计员工的执行期权的模式、到期日之内的期权等，因而也就可以更好地反映这些因素。
A15. Black-Scholes-Merton公式假设只能在期权到期日执行期权，期望的波动性、期望的红利、无风险利率在整个期权的生命周期中保持恒定。如果将其运用于估计公允价值，那么需要对Black-Scholes-Merton公式进行修改，使其考虑到现实中的员工股票期权与模型的假设相矛盾之处(例如：在到期日之前执行期权的能力)。由于这个公式的性质，那些调整采取对不同假设进行加权平均的形式。相比起来，二(多)叉树模型可以对期权有效期内的红利、期权执行模式的预测、中断周期的影响进行动态调整。因此，对二(多)叉树模型可以有效模拟各种员工股票期权的不同特征。然而，二(多)叉树模型、Black-Scholes-Merton公式以及其他满足A8段的估值技术可以给出对公允价值的估计。不过，如果一个实体使用了经过校正后的模型(将以下因素纳入考虑：期权的合同期限、员工期望的执行方式、等待后的雇用中止行为)，则对期望期限的估计是基于二(多)叉树模型的输出结果。例如：一个实体的经历可能表明期权的持有者倾向于在股票价格翻了一倍后执行期权。如果是这样，该实体可能使用二(多)叉树模型，这个模型假设当执行期权的期望条件得到满足时，在股票价格路径的每个节点执行期权(如果在该节点期权可以等待并且可以被执行)。此外，当执行期权的期望条件没有得到满足并且期权在合约期满后仍处于实值状态时，该模型也假设在期满后执行期权。这种方法认为，员工的执行行为与潜在价格相关。此模型同样也考虑了期权等待后的雇用中止行为。基于作为结果的二(多)叉树模型(见A240段)，我们可以对期望的期限做出估计。
事实上，FAS 123的一些部分是不能够被考虑在传统的Black-Scholes模型中的。二(多)叉树模型需要对如下因素进行建模：次优执行行为、作废率、期权等待、中断周期等。此案例研究和软件计算的结果使用了二(三)叉树模型、闭合形式的Black-Scholes模型从而比较结果。描述二(多)叉树模型的使用方法的FAS 123段落包括如下条目：
A27. 然而，如果一个实体使用了经过校正后的模型(将以下因素纳入考虑：期权的合同期限、员工期望的执行方式、等待后的雇用中止行为)，则对期望期限的估计是基于二(多)叉树模型的输出结果。例如：一个实体的经历可能表明期权的持有者倾向于在股票价格翻了一倍后执行期权。如果是这样，该实体可能使用二(多)叉树模型，这个模型假设当执行期权的期望条件得到满足时，在股票价格路径的每个节点执行期权(如果在该节点期权可以等待并且可以被执行)。
A28. 其他的影响员工执行期权的行为以及等待后雇用中止行为的因素包括：
对等待期的奖励。期权的期望期限至少应该包括等待期。
员工的历史执行情况以及等待后雇用中止行为。
标的股票价格的期望波动性。
中断期限以及其他的安排(例如：当满足某种条件时，期权自动执行)。
员工的年龄、任职期限长度、国内司法状况。
因此，基于前述的司法体系以及针对校订后FAS 123的要求和推荐条件(其选择二叉树模型)，我们可以认为在计算ESOs的公允价值时，二叉树模型是最好的也是最值得推荐的方法。
首选方法的运用
在运用经过修改后的二叉树模型时，需要对以下的输入值进行判断：
批准日的股票价格。
批准期权的合约价格。
期权的到期时间。
期权生命周期的无风险利率。
期权生命周期中标的股票的红利收益。
期权生命周期中的波动性。
期权的等待期。
期权生命周期中的次优执行行为。
作废率以及期权生命周期中的员工迁移率。
当期权不能被执行时的等待后的中断日期。
这种分析假设员工在期权等待的期限中不能执行期权。更进一步，如果员工工作年限被终结，并且决定等待期中自愿离开，则期权的批准将失效并且被认为是无价值的。相比起来，在期权等待期后，员工往往会在执行期权方面表现出不理性的行为，即一种次优的行为。然而，如果员工自愿离开或中止被雇用，则等待后的期权必须在一段短暂的时间之内执行(不论次优的行为如何，即期权失效的发生，这是由期权的失效率以及员工的迁移率来测度)。最后，当期权到期时，如果期权处于实值状态，则将会被执行;如果处于虚值或两平状态，则期权会过期。下一个部分将具体阐述本案例分析的结果。
ESO估值软件包
从理论上讲，如果不借助于软件，我们也可以对大规模的二叉树模型ESO进行估值。本分析运用的软件是本书作者编写的员工股票期权估值工具包1.1(见图1.1)，FASB也是用这款软件证明ESO估值是有效的也是具有可操作性的。事实上，FASB运用这款软件计算了最终的FAS 123的A87-A88段的示例，并进行了估值。图1.2自定义的美式期权的示例模块，它运用了带有等待的二叉树模型、失效率、次优执行行为、随着时间变化的无风险利率和波动性。Real Options Super Lattice软件也可以运用二叉树模型、FASB偏好的方法用来创造任意自定义的ESO模型。
图1.1 ESO Valuation Toolkit 1.1软件
这款软件显示了如何运用闭合形式的模型(例如BSM/GBM)以及二叉树模型。运用二叉树模型，我们可以解决更为复杂的ESO问题。例如：自定义的高级期权(见图1.2)显示的是多个变量(无风险利率、红利、波动性、失效率、次优执行行为等)随着时间的变化。此外，对于增加的不稳定性，Super Lattice Solver模块可以使我们解决自定义的ESO问题。这种特征使得管理层可以用不同风格的ESO进行试验，从而找出其需要的那种，使股权持有者的成本最小化。
图1.2 定制高级期权模型
图1.2显示的是2004年的最终的FAS 123准则的A87段的示例的解决方案。具体而言，A87-A88如下：
A87. 下表显示的是关于2005年1月1日批准的股票期权的一些假设和相关信息。
股票期权共900000。
员工的期权共3000。
批准日的股票价格为$30。
执行价格为$30。
合约期限(CT)为10年。
合约期内的无风险利率是1.5%~4.3%。
合约期内期望的波动性为40%~60%。
合约期内期望的红利收益为1.0%。
次优执行乘数为2。
A88. 本例假设每个员工都被批准拥有300份期权。从以上列表中选出7项作为输出值，我们可以得出每份期权的公允价值为$14.69。此模型运用次优执行乘数来计算期望的项目(即期望的项目作为输出值)，而不是把期望的项目作为孤立的输入值。如果运用Black- Scholes-Merton期权定价公式，则期望的项目应该被用作输入值而不是次优执行乘数。
图1.2显示的结果为$14.69，FASB在其示例中用到了这个结果。FASB的示例中，3%的失效率被运用于模型之外，从而对随着时间而消减的数量进行贴现。这个软件允许我们在模型内部或外部输入失效率(等待之前或等待之后)。在这个例子中，我们将失效率设为0(图1.2)并且将数量排除在外，这正如FASB在A91中所做的那样：期望被等待的股票的数量在批准日被估计为821406(900000×0.973)。
事实上，运用ESO的估值软件包和Excel的目标探索函数，我们可以发现这个期权的期望生命周期为6.99年。如果将6.99输入校正后的GBM，那么我们可以得到同样的结果$14.69(如果不运用二叉树模型，这是无法完成的)。
所运用的方法的技术性证明
本部分阐述了导致GBM与自定义的二叉树模型价格差别的技术性证明。图1.3显示了在自定义的二叉树模型中如何得出每个输入变量。基于这个图，显然波动性并非期权价值的关键变量。事实上，等待、失效、次优行为等元素考虑进模型时，它们的效果控制了波动性。此图显示的是典型的案例，并不能作为一般化的案例。
相比起来，在简单的BSM中，波动性是显著的变量(如图1.4所示)。这是因为由于输入的变量较少，造成输入的变量的相互影响较少。对于许多处于两平状态的ESOs，当没有其他的主导输入变量时，波动性起了非常重要的作用。
另外，这些新输入变量的相互影响是非线性的。由图1.5可知，等待、失效率、次优行为在期权价值中是非线性的。即图中的线条不是直的而是在某些部位表现为弯曲的，这表明模型中有非线性的影响。这表明在期权价值中，我们不可以对这三个变量进行一般性的总结(例如，我们不能总结如下：失效率每增加1%，期权的价值会降低2.35%;这意味着失效率每增加2%，期权的价值将下降4.7%)。这是因为在不同的层次，变量的相互影响不同。我们可以总结如下：不可以对某个变量的变化所带来的影响得到一般性的结论。对于每个案例，都要对更多的细节进行分析。
图1.3 飓风图列示了定制二叉树模型中关键的输入因素
图1.4 飓风图列示了BSM模型中关键的输入因素、
图1.5 蛛网图显示了二叉树模型中输入变量的非线性效果
尽管每个图都显示了变量的输入值变化对期权价值带来的影响，即这些影响是静态的。然而，如图1.5所示，这些效果常常是非线性的，这意味着我们需要同时改变变量的值，从而找出它们的相互影响。图1.6显示的是Monte Carlo模拟的动态敏感性，其中失效率、等待、次优行为都被视作重要变量，而波动性再一次被视作次要的变量。动态敏感性的图是在经过数千次改变输入变量的值后得到的，它可以捕捉到期权价值变化的效果。这种方法在捕捉不同变量输入值的净相互影响方面，是非常有价值的。
图1.6 输入变量同时变动的动态敏感性分析
从这些对敏感性的分析来看，我们可以总结得出：把失效率、等待、次优行为综合起来对于获取ESOs的公允价值是非常重要的，因为它们对期权价值会造成重大的影响。此外，我们不能把对期权价值有影响的输入变量进行一般化的总结。为了获取期权的价值，我们每次都要进行具体的分析。
带待权期和次优执行行为的期权
通过进一步研究次优行为和等待，我们得到了图1.7所示的结果。此处我们发现在较低的次优行为发生率下，股票期权价值显著低于由BSM预测的值。对于10年的等待股票期权，两个结果是相同的。这是因为对于10年等待并且10年到期的期权，它将转变为欧式期权，只能在到期日执行。在本例中，BSM给出了正确的结果。
图1.7 次优执行行为和待权期对期权价值的影响
(使用假设：股票价格和执行价格为25美元，成熟期为10年，无风险利率为5%，波动率为50%，红利率为0%，次优执行行为乘数为1~20，待权期为1~10年，进行100~5000步的二叉网格尝试)
然而，当次优行为发生率降低时，期权的价值将会降低。这是因为持有期权的员工倾向于以次优的方式执行期权，即他们会在股票价格达到最优之前执行期权。因此，期权的价值没有被最大化。例如：假设期权的合约价格为$10，标的股票具有高波动性。如果一个员工以$11执行了期权(次优执行乘数为1.1)，他就没能够有效把握住标的股票的高波动性带来的价格上涨空间。假设另一个员工在股票价格为$20时执行了期权(次优执行乘数为2.0)。因此，较低的次优执行行为意味着股票期权的较低公允价值。当预测的批准日的股票价格较高时，次优执行行为对股票具有较高的影响。图1.8显示，越接近批准日，曲线的斜率越高。
图1.8 次优执行行为和股票价格对期权价值的影响
(使用假设：股票价格和执行价格范围为5~100美元，成熟期为10年，无风险利率为5%，红利率为0%，次优执行行为乘数为1~20，待权期为4年，进行100~5000步的二叉网格测试)
图1.9显示，股票波动性越高，则次优区域越大且对期权价值的影响越大，但是这种影响是渐近的。例如：对于具有100%波动性的股票，次优区域从次优执行乘数为1.0的部分一直扩展到次优执行乘数为9.0的部分(而对于波动性为10%的股票，次优区域从次优执行乘数为1.0的部分扩展到次优执行乘数为2.0的部分)。此外，100%波动性股票的价格波动从$12~$22，波幅为$10(而8%波动性的股票价格波动从$2~$10，波幅为$8)。因此，批准日的股票价格越高，则波动性越高，从而次优行为对期权价值具有更高的影响。在各种情况中，BSM的结果在图中表现为水平线(图1.8、图1.9)。即BSM假设所有行为都是最优的，因此它总是最大化期权价值，这会显著高估期权的价值。GBM和BSM都不能考虑到次优执行行为，只有二叉树模型可以做到这点。
带有失效率的期权
图1.10显示的是，随着失效率的增加，期权价值减小。减小的比率取决于待权期。待权期越长，失效率对期权价值的影响越大，这表明在等待与失效之间存在非线性的交互影响关系(图1.10中的线条是弯曲的并且是非线性的)。从直觉上我们可以感知到这一点，待权期越长，则雇员继续接受雇用的可能性越高，失效的可能性越高。这会减少期权的期望价值。
图1.9 次优执行行为和波动率对期权价值的影响
(使用假设：股票价格和执行价格为25美元，成熟期为10年，无风险利率为5%，波动率为10%-100%，红利率为0%，次优执行行为乘数为1~20，待权期为1~10年，进行100~5000步的二叉网格测试)
图1.10 罚没率和待权期对期权价值的影响
(使用假设：股票价格和执行价格为25美元，成熟期为10年，无风险利率为5%，波动率为50%，红利率为0%，次优执行行为为1.01，待权期为1~10年，罚没率为0~50%，进行100~5000步的二叉网格测试)
再一次，我们可以注意到，对于具有10年待权期、10年有效期、0失效率的期权，BSM总是会高估价值(图1.10)。此外，如果公司运作正常、股票价格往往会升高、这会使得期权更具有价值并且使员工不太可能离开公司、且公司也不太可能解雇员工——这样的话，股票价格与失效率就具有负相关的特征。由于失效率具有不确定性(在过去，失效率通常会随着经济环境的变化而波动，并且它在未来也会波动)且与股票价格具有负相关性，故我们可以将具有相关性的Monte Carlo模拟运用于失效率，并可将其与二叉树模型联合使用(在本案例研究的后面部分将得到阐述)。BSM总是最大化期权价值。ESO估值软件可以考虑到失效率，Super Lattice Solver可以考虑到在二(多)叉树模型中不同的等待前与等待后的失效率。
无风险利率随时间而改变的期权
输入值的另一个假设是无风险利率。图1.11显示的是随时间而改变的无风险利率对期权价值的影响。当增加了其他的输入值后，无风险利率不恒定的二(多)叉树模型会在整体上低估期权价值。此外，考虑到货币的时间价值，对未来现金流进行更高的贴现将会降低期权的价值。图1.11比较了斜率增长的收益率曲线和斜率下降的收益率曲线，它们在图像上分别表现为开口朝上的月牙和开口朝下的月牙。当利率的期限结构随时间而增加时，运用非恒定的无风险利率二叉树模型计算出的期权价值($24.31)低于运用无风险利率的平均值计算出的结果($25.92)。对于下降的期限结构，情况正好相反。此外，图1.11显示了开口朝下的无风险利率曲线(利率先低后高再低)和开口朝上的无风险利率曲线(利率先高后低再高)。这个结果表明，运用简单平均的方法，将会高估斜率增加的收益曲线，低估斜率减少的收益曲线。因此，我们应该随着时间的变化，从而对无风险利率做出修正。
图1.11 变化的无风险利率对期权价值的影响
这些结果只可以用于说明一个典型的情况而不能作为一般化的例子在所有情况下进行使用。
波动性随时间变化的期权
图1.12显示的是ESO中波动性随时间而改变的效果。如果波动性随时间而改变，则当存在其他的输入变量时，运用平均波动性的BSM($71.48)将总是会高估期权的价值。此外，把它与基础状况中的$38.39相比，随时间而缓慢地从较低水平增加的波动性将会导致较低的期权价值，而当波动性从较高的水平降低时(以及当波动性表现为开口朝上或朝下的月牙时)，计算出的结果高于用平均波动性计算出的结果。
红利收益随时间而改变的期权
红利收益是一种较为简单的输入数据，我们可以从公司的红利分配政策或历史数据中获得。我们计算红利收益时，是把在一年中的红利加总起来，从而计算出总的红利与股票价格的比值。通常红利收益都介于0%~7%。事实上，在美国大约有45%的上市公司支付红利。在支付红利的公司之中，有85%的红利收益低于7%，95%的红利收益低于10%。红利收益是一个非常有趣的变量，它与其他的输入变量具有较小的相关性。它对期权价值具有接近线性的效果，而其他的输入变量却不具有这样的效果。例如：图1.13显示的是对同样的期权的不同到期日的效果。到期期限越长，则期权价值越高、但期权价值增长率在减小。
图1.12 变化的波动率对期权价值的影响
图1.13 成熟期的非线性影响
(使用假设：股票价格和执行价格为100美元，成熟期为10年，无风险利率为5%，波动率为75%，定制网格步数为1000步，次优执行行为乘数为1.8，待权期为1年，罚没率为10%)
相比起来，图1.14显示的是，即使当其他的输入变量发生改变，红利的效果仍然接近线性。不论变量发生什么变化，红利对期权的影响都接近线性。图1.14显示的是许多具有特殊红利率的期权，图1.15显示的是单一期权的红利随时间而改变的效果。图1.14中的结果是对具有不同红利率的不同期权进行比较而得出的，图1.15中的结果是对红利率随时间而改变的单一期权的效果进行比较而得出的。
图1.14 红利率的近线性影响
图1.15 变化的红利率的影响
(使用假设：股票价格和执行价格为100美元，成熟期为5年，无风险利率为5%，波动率为75%，定制网格步数为1000步，次优执行行为乘数为1.8，待权期为1年)
显然，如果期权的红利不断改变，则它对这个期权来说是具有价值的。因此，如果公司的股票支付红利，则我们的分析中应该考虑红利率改变的可能性。
带有中断期限的期权
另外一个比较有意思的就是中断期限，在中断期限中ESOs不能够被执行。这个期限通常是公布收入(通常是季度财务报告)前几周，也可能是后几周。此外，只有负有受托人责任的高级经理才具有这样的中断期权，因此这部分期权与整个公司的相比只占很小的一部分。图1.16显示的是具有不同的中断期的典型的ESO的计算结果。有些期权在一个月中只有几天的中断期时，这与普通的带有中断期的期权有所不同，也与那些没有中断期的期权不同。事实上，如果次优执行乘数较小(本例中假设这个值为1.8)，策略的中断期限会防止期权持有者以次优的行为执行期权并且期权的价值也会略微地增加。
图1.16 禁止期对期权价值的影响
(使用假设：股票价格和执行价格为100美元，成熟期为10年，无风险利率为5%，波动率为75%，定制网格步数为1000步，次优执行行为乘数为1.8，没有红利率，待权期为1年，罚没率为10%)
图1.16所示的分析假设一年中的中断期限只占很小的百分比(即一年中只有几天不能执行ESO)。对于这些公司的股票期权，中断期限可以被忽略。然而，对于生物科技公司、高科技公司等，中断期限扮演了非常重要角色。例如：在生物科技公司，每个季度的中断期限可能有4~6周，这个期限将跨越公布季度公报的时间。此外，在新产品投产前也可能设置中断期限。因此，每年的中断期限可能占期权生命周期的35%~36%。在这种情况下，中断期限会显著影响期权的价值。例如：图1.17显示的是具有中断期限以及不具有中断期限的自定义二叉树模型的差别。在引入中断期限后，ESO的值被消减了10%~35%(具体数值取决于失效率的波动性)。正如所期望的那样，减少的数值是非线性的，因为中断期限的效果会随着分析中其他不同的输入变量的变化而变化。
图1.18显示的是不同等待期、不同的红利收益下的中断期限的效果，而图1.19显示的是在不同的红利收益和次优执行乘数下的结果。显然，我们只有在具体分析之后，才能准确预测影响，这种影响一般是10%~20%。中断期限只能运用二叉树模型建模而不能用BSM/GBM。
图1.17 禁止期对期权价值的影响(不同的罚没率和波动率)
(使用假设：股票价格和执行价格为30~100美元，波动率为45%，无风险利率为5%，成熟期为10年，红利率为0%~10%，待权期为1~4年，罚没率为5%~14%，次优执行行为参数为1.8~3.0，网格步数为1000步)
图1.18 关键禁止期对期权价值的影响(不同的红利率和封锁期)
图1.19 关键禁止期对期权价值的影响(不同的红利率和执行行为)
不流通问题
2004年的FAS 123没有明确地讨论不流通性，即ESO既不能直接被过户给其他人也不能自由地在市场中进行交易。在这种情况下，基于可靠的财务和经济理论，我们可以把不可流通条件下的贴现近似用于ESO。然而，这并不是一项轻松的任务。
一种对贴现简单的和直接的应用不应该是用任意选择的百分比乘以二叉树模型计算出的结果。我们可以运用看跌期权进行更严格的分析。一份看涨期权是一种合约权利，而不是一种义务，它使得期权持有者可以在指定的时间之内能够以合约价格购买标的股票;而看跌期权也是一种合约权利，而非义务，它使得期权的持有者能够在指定的时间内以合约价格出售股票。因此，如果ESO的持有者不能销售或等待期权，那么持有它就相当于放弃了销售期权的权利(也即员工已经背书或对公司出售了看跌期权)。
然而，在分析中碰到这种贴现特征时，我们要格外小心。在计算看涨期权时输入自定义二叉树模型的输入值也同样应该输入看跌期权。即看跌期权也必须具有相同的风险(波动性会随着时间而改变)、经济环境(无风险利率的期限结构会随着时间而改变)、合约的义务(等待、到期日、合约价格、中断期限)、投资者的不理智(次优执行行为)、公司的业绩(批准日的股票价格)等。
尽管FAS 123没有明确地讨论不可流通性，出于完整性的考虑，我们在此对价值进行分析。只有每个公司的管理层才能决定是否应该运用贴现。图1.20显示的是运用自定义二叉树模型对ESO进行计算的结果。图1.21显示的是非流通性的分析结果，这是将相同的输入值(等待、中断、失效、次优行为等)输入自定义二叉树模型而计算出的结果。贴现率的范围是22%~53%。这些贴现率看上去有些大，但它们其实是符合市场预期的。由于FASB没有明确地批准这些贴现率，所以作者建议在决定ESO的公允市场价值时要谨慎。
图1.20 定制二叉网格模型估值结果
(使用假设：股票价格和执行价格为100美元，成熟期为10年，待权期为1年，波动率为35%，红利率为0%，无风险利率为5%，次优执行行为参数为1.2~3.0，罚没率为0%~40%，定制网格步数为1000步)
图1.21 不可销售和不可转换贴现率
寿命分析(生存分析)
正如前面所讲到的那样，2004年最终的FAS 123的A15和B64不允许使用带有单一期望生命周期的BSM。这意味着我们不能把期望的生命周期输入到BSM中，从而获得类似自定义的二叉树模型计算的结果。我们只能另寻它法。即运用等待要求、次优执行乘数、失效率、员工更替率以及其他标准期权的输入值，通过自定义二叉树模型计算出估值结果。这种结果与校正后的BSM具有可比性，并且期望的生命周期可以作为输入值。通过将BSM的结果设置为与自定义的二叉树模型相等，Excel的目标搜索函数可以被用来获取期权的期望的生命周期的输入值。期望的生命周期的输出结果可以与历史数据相比较，从而作为另一类输出结果，即期望的生命周期是否在历史数据的范围之内。由于测度期权的期望的生命周期是非常困难的也是不准确的，故而这种方法是正确的。
如图1.22所示，通过将BSM的结果与自定义二叉树模型的结果设置为相等，我们可以对ESO Valuation Toolkit软件运行Excel的目标搜索函数，从而BSM模型输入期望的生命周期。
图1.22 使用二叉树结果来确定期权预期生命周期
图1.23显示的是另一个例子，在此处期望的生命周期可以被输入，但失效率并不为0。在这种情况下，需要对BSM的结果进行修正。例如：自定义二叉树模型的结果为$5.41(失效率为15%)。这意味着，如果运用修正的期望生命周期的方法，结果应该为BSM×(1-15%)=$5.41。期望的生命周期是2.22年，产生的BSM值是$6.36($5.41/85%=$6.36，$6.36×(1-15%)=$5.4)。
稀释
在大多数情况下，稀释的影响可以忽略不计，因为批准的ESO只占公司的期权总量的很小一部分。在财务投资理论中，市场早已预期到了ESOs的执行，并且股票价格也已经反映了它的影响。一旦新期权的批准被公布，股票价格会迅速对这条消息进行充分的调整，这时已经考虑到了稀释发生的可能性。这意味着只要是在公布之后进行估值，那么稀释的影响将不复存在。2004年的FAS 123没有给出清楚的指导。由于FASB几乎没有对稀释给出指导(A39)、考虑了稀释时预测股票价格是非常困难的、稀释的影响是非常微小的(其只占股票总量中的很小比例)，故而稀释的影响可以被忽略不计。
图1.23 零罚没率的情况下使用二叉树结果来确定预期生命周期
将蒙特卡罗模拟运用于统计置信度和精度控制
下一步，蒙特卡罗模拟可以被运用于获取股票期权公允价值的估计范围。即如果股票期权的输入值是不确定的并且是随机的，那么就可以对其运用蒙特卡罗模拟。我们可以将分布假设运用于这些变量，并且用BSM、GBM得到的期权价值的结果、对路径的模拟、二叉树模型可以被选作预测单元格。
模拟的结果在本质上是股票期权价值的分布。我们必须注意，此处的模拟仅仅是用来区别不同的输入值，从而获取输出结果的范围，而不是为了计算期权的价值。然而，模拟既可以被用来模拟输入值从而获取期权结果的范围，也可以通过独立路径模拟解决期权的模型问题。例如：模拟的输入值是那些具有高度不确定性并且在未来会发生改变的值(如批准日的股票价格、波动性、失效率、次优执行乘数等)。显然，客观的变量如无风险利率(美国会公布期限从1个月到20年的国债的收益率)、红利收益(这取决于公司的战略)、等待期、合约价格、中断期限(这取决于期权合约中的规定)等是不应该被模拟的。此外，模拟的输入假设有可能是相关的。例如：失效率与股票价格呈负相关——如果公司运作得不错，则股票价格会提高，这使得期权更有价值，这样就会使员工不倾向于离开公司且公司也不倾向于解雇员工。最后，输出值的预测是期权估值的结果。事实上，FAS 123(B64、B65以及脚注48、52、74、97)允许并推荐蒙特卡罗模拟。
图1.24是对所有变量运用自定义二叉树模型(基于单点输入值)计算出的结果。模型采用了外来输入值(如：待权期、失效率、次优执行乘数、中断期限)，并且随着时间而改变输入值(红利、无风险利率、波动性)。期权价值的结果是$31.42。这个分析可以被扩展，从而使其包括模拟。图1.25显示的是伴随有自定义二叉树模型的模拟结果(Risk Simulator®软件被用于模拟输入变量)。
软件会自动根据统计显著性和精度控制的要求确定试验重复的次数，而不是随机地决定在模拟中试验进行的次数。本例中置信度为99.9%，精度控制为.01，一共进行了145510次试验。这组非常严格的参数设置意味着需要进行足够多次的试验才能使结果满足置信度为99.9%、精度控制为0.01。例如：模拟的平均结果是$31.32(图1.25)。这意味着在1000次试验中，999次的结果离$31.32的误差只有.01。这些措施是在统计上有效的也是公正的。
图1.24 使用定制二叉树模型的单点计算结果
图1.25 99.9%置信区间和精度为0.01美元时期权的估值结果
步数
二(多)叉树模型的步数越多，结果的精度越高。图1.26显示的是运用BSM的闭合形式的模型对没有红利的欧式看涨期权计算出的收敛的结果(与基本的二叉树模型的结果相比)。一般在1000步后可以得到收敛的结果。同样地，如果有可能的话，就应该使用1000步的计算结果。由于需要很多的步数才能得到理想的结果，所以我们要运用基于软件的数学算法。例如：1000步的非重组二叉树模型需要计算2×10301个节点，如果没有专门的算法，人工计算是不可能的。图1.27显示的是用渐近增加的步数得到的收敛结果(每120步为一组)。计算出的数据被制成表格，并且本例也给出了结果的中位数。在这个自定义二叉树模型中，最好的估计是4200步，输入的数值通用于整个分析。
图1.26 二叉树模型的计算结果趋同于闭式方程的计算结果
图1.27 定制二叉树模型得到的收敛结果
结论
自Fisher Black、Myron Scholes、Robert Merton给出了他们的期权定价模型以及为金融界带来巨大的进步已经30多年了;因此，不应该将股票期权定价局限于某个具体的模型，因为我们总能探索到其他更好的模型。对股票期权进行估值的三种主要方法是：闭合形式的模型(如：BSM、GBM、美式期权近似模型)、蒙特卡罗模拟、二叉树模型。当存在次优行为、等待期、失效率时，BSM与GBM常常会高估ESOs的公允价值。事实上，如果用BSM和GBM对ESOs进行估值，那么这常常会高估真实成本。在运用BSM之前，需要满足许多潜在假设，同样地，它也有许多明显的限制(这包括，它只能被运用于无红利的欧式期权)。此外，美式期权近似模型非常复杂、并且很难运用于Excel的工作表。BSM不考虑美式期权、基于支付红利的期权(然而GBM可以在欧式期权中考虑红利)、失效率、不良业绩、股票价格的限制、待权期、不断变化的商业环境和波动性、次优行为以及一些其他情况。蒙特卡罗模拟可以单独作为一种对股票期权价格进行估值的方法，但这仅限于欧式期权。模拟有以下两种方式：通过对股票价格路径的模拟，从而计算出期权的公允价值;与其他方法(如：二叉树模型和闭合形式的模型)协同使用，从而找出模型中不确定性的来源。
二叉树模型具有稳定性并且易于运用。它可以被运用于对带有红利的欧式期权进行估值，但这需要计算能力。我们需要运用软件来执行这种运算。二叉树模型可以被用于计算支付红利的美式期权，可以很容易地被改造以解决带有外来输入值的ESOs问题，可以与蒙特卡罗模拟协同运用以考虑不确定的输入假设(失效的概率、次优行为、转手、不良业绩)，可以用于计算高精度的置信区间。基于本案例研究所做的分析，我们建议在使用模型时，请先确认ESO是欧式的。事实上，带有外来输入变量的美式期权是不允许被使用的，因为这会大大地高估补偿成本。影响ESOs的公允价值的因素有很多，我们应该运用考虑这些因素的二叉树模型。只要经过认真的学习，就可以像在本案例研究中所演示的那样运用二叉树模型对ESOs进行估值，本例所使用的方法是注重实效的、精确的并且是在理论上合理的。
