接上文：【Stata专栏】异方差稳健标准误：一些实际考虑（一）
离散协变量
对于β3和β5以及N=100，以下情况成立。HC1zui接近5%的排斥率。当异方差不高时，HC2接近5%的排斥率。当异方差高时，HC2的排斥率低于5%。HC3和WB具有小于0.05的5%排斥率。异方差越大，速率越小。HC3和野生助推器的比率始终低于HC2。
对于β4和β6以及N=100，以下情况成立。HC1和HC2具有5%的排斥率，对于低水平的异方差。在这些情况下，HC3接近理想速率。当异方差高时，HC1的行为保持不变，HC2接近理想速率，HC3开始产生低于0.05的速率。世行的汇率将始终低于所有其他估算值。
当N=1000时，当异方差小于很高时，所有估计都接近理想的拒绝率。当异方差非常高时，HC1更接近于zui佳抑制率。当N＝5000时，除HC3外，所有估计值都接近理想的拒绝率，HC3的拒绝率在非常高的异方差水平下低于0.05。
下表4给出了当样本大小为N=100时，不同异方差水平的4个VCE估计器的模拟结果。表5和6显示了N=1000和N=5000的结果。
表4：离散协变量：不同异方差水平的5%拒绝率
| N=100和2000次复制的模拟结果 | |||||
| 参数 | VCE | γ=0.5 | γ=1.0 | γ=1.5 | γ=2.0 |
| β3 | HC1 | 0.054 | 0.052 | 0.051 | 0.047 |
| HC2 | 0.053 | 0.050 | 0.044 | 0.034 | |
| HC3 | 0.046 | 0.038 | 0.026 | 0.022 | |
| WB | 0.032 | 0.032 | 0.030 | 0.027 | |
| β4 | HC1 | 0.084 | 0.082 | 0.076 | 0.068 |
| HC2 | 0.072 | 0.071 | 0.063 | 0.049 | |
| HC3 | 0.058 | 0.053 | 0.042 | 0.025 | |
| WB | 0.040 | 0.039 | 0.031 | 0.025 | |
| β5 | HC1 | 0.049 | 0.050 | 0.046 | 0.048 |
| HC2 | 0.047 | 0.045 | 0.037 | 0.035 | |
| HC3 | 0.036 | 0.035 | 0.028 | 0.019 | |
| WB | 0.033 | 0.033 | 0.027 | 0.028 | |
| β6 | HC1 | 0.081 | 0.078 | 0.068 | 0.061 |
| HC2 | 0.069 | 0.066 | 0.059 | 0.045 | |
| HC3 | 0.050 | 0.047 | 0.037 | 0.027 | |
| WB | 0.037 | 0.033 | 0.024 | 0.020 | |
表5：离散协变量：不同异方差水平的5%拒绝率
| N=1000和2000次复制的模拟结果 | |||||
| 参数 | VCE | γ=0.5 | γ=1.0 | γ=1.5 | γ=2.0 |
| β3 | HC1 | 0.047 | 0.053 | 0.053 | 0.040 |
| HC2 | 0.047 | 0.051 | 0.049 | 0.032 | |
| HC3 | 0.045 | 0.050 | 0.044 | 0.027 | |
| WB | 0.043 | 0.052 | 0.049 | 0.037 | |
| β4 | HC1 | 0.051 | 0.054 | 0.056 | 0.040 |
| HC2 | 0.051 | 0.051 | 0.049 | 0.032 | |
| HC3 | 0.049 | 0.046 | 0.045 | 0.029 | |
| WB | 0.050 | 0.047 | 0.050 | 0.036 | |
| β5 | HC1 | 0.044 | 0.054 | 0.051 | 0.054 |
| HC2 | 0.044 | 0.053 | 0.048 | 0.046 | |
| HC3 | 0.042 | 0.050 | 0.045 | 0.039 | |
| WB | 0.043 | 0.053 | 0.049 | 0.048 | |
| β6 | HC1 | 0.053 | 0.057 | 0.051 | 0.049 |
| HC2 | 0.052 | 0.054 | 0.048 | 0.043 | |
| HC3 | 0.050 | 0.052 | 0.042 | 0.038 | |
| WB | 0.047 | 0.052 | 0.046 | 0.041 | |
表6：离散协变量：不同异方差水平的5%拒绝率
| N=5000和2000次复制的模拟结果 | |||||
| 参数 | VCE | γ=0.5 | γ=1.0 | γ=1.5 | γ=2.0 |
| β3 | HC1 | 0.046 | 0.053 | 0.049 | 0.045 |
| HC2 | 0.046 | 0.053 | 0.047 | 0.043 | |
| HC3 | 0.046 | 0.052 | 0.045 | 0.040 | |
| WB | 0.045 | 0.052 | 0.049 | 0.045 | |
| β4 | HC1 | 0.058 | 0.054 | 0.048 | 0.048 |
| HC2 | 0.058 | 0.054 | 0.047 | 0.044 | |
| HC3 | 0.057 | 0.053 | 0.045 | 0.039 | |
| WB | 0.058 | 0.052 | 0.047 | 0.049 | |
| β5 | HC1 | 0.050 | 0.058 | 0.047 | 0.045 |
| HC2 | 0.050 | 0.057 | 0.044 | 0.041 | |
| HC3 | 0.049 | 0.057 | 0.042 | 0.038 | |
| WB | 0.048 | 0.055 | 0.046 | 0.043 | |
| β6 | HC1 | 0.055 | 0.059 | 0.051 | 0.045 |
| HC2 | 0.055 | 0.058 | 0.050 | 0.041 | |
| HC3 | 0.055 | 0.056 | 0.049 | 0.039 | |
| WB | 0.055 | 0.059 | 0.051 | 0.046 | |
Long和Erwin型模拟
作者再次对三个样本大小进行模拟。与Long和Erwin（2000）一样，我允许协变量之间的相关性，并包括连续和分类协变量。误差项是不正常的，允许整个过程中有高水平的异方差。与Long和Erwin（2000）的五个参数不同，关注的是六个参数。
当样本大小为N=100时，zui大杠杆的平均值约为0.24，对于某些平局，可能达到0.46。这与MacKinnon和White型模拟相比不那么严重，但对于HCk估算器，仍会产生高于0.05的拒绝率。当样本大小为N＝1000时，平均zui大杠杆约为0.042，zui大杠杆约0.11。当N=5000时，zui大杠杆始终低于0.04。
作者对Long和Erwin类型的模拟得出了类似的结论，在上一节中对MacKinnon和White类型的模拟也得出了类似结论。当逼近连续协变量β1和β2的理想拒绝率时，HC3zui好，但对于离散协变量，HC3的拒绝率较低。对于离散协变量，HC1zui接近理想拒绝率，但对于连续协变量具有高拒绝率。对于连续协变量，HC2优于HC1，但对于离散协变量，则更差。世行的覆盖率往往低于0.05，低于其他估算值。
在下表7中，我们给出了所有协变量和样本大小的拒绝率。
表7：两种样本尺寸的5%拒绝率
| 参数 | VCE | N=100 | N=1000 | N=5000 |
| β1 | HC1 | 0.099 | 0.054 | 0.053 |
| HC2 | 0.082 | 0.051 | 0.052 | |
| HC3 | 0.064 | 0.050 | 0.052 | |
| WB | 0.035 | 0.047 | 0.055 | |
| β2 | HC1 | 0.089 | 0.052 | 0.042 |
| HC2 | 0.073 | 0.050 | 0.042 | |
| HC3 | 0.056 | 0.048 | 0.042 | |
| WB | 0.043 | 0.051 | 0.044 | |
| β3 | HC1 | 0.046 | 0.046 | 0.050 |
| HC2 | 0.045 | 0.044 | 0.049 | |
| HC3 | 0.033 | 0.044 | 0.049 | |
| WB | 0.026 | 0.047 | 0.052 | |
| β4 | HC1 | 0.031 | 0.044 | 0.050 |
| HC2 | 0.024 | 0.044 | 0.050 | |
| HC3 | 0.014 | 0.040 | 0.049 | |
| WB | 0.011 | 0.046 | 0.051 | |
| β5 | HC1 | 0.047 | 0.063 | 0.057 |
| HC2 | 0.038 | 0.061 | 0.057 | |
| HC3 | 0.025 | 0.060 | 0.057 | |
| WB | 0.013 | 0.063 | 0.061 | |
| β6 | HC1 | 0.059 | 0.060 | 0.061 |
| HC2 | 0.045 | 0.059 | 0.060 | |
| HC3 | 0.030 | 0.057 | 0.060 | |
| WB | 0.023 | 0.062 | 0.060 |
Angrist和Pischke型模拟
作者模拟了Angrist和Pischke（2009）模拟，但不允许30个样本大小，而是允许3个不同的样本大小，N=100、N=300和N=1000。所有结果见下表8。这里作者试图恢复一个二元回归的参数。当有100次观察时，除了WB低于0.05外，所有估计的覆盖率都高于0.05。zui大杠杆的平均值约为0.11，zui大值为0.5。当样本量为N=300和N=1000时，所有估计值都接近0.05的拒绝率。以下是模拟结果。
表8：三种样本尺寸的5%拒绝率
| 参数 | VCE | N=100 | N=300 | N=1000 |
| β1 | HC1 | 0.099 | 0.055 | 0.055 |
| HC2 | 0.082 | 0.052 | 0.054 | |
| HC3 | 0.066 | 0.048 | 0.053 | |
| WB | 0.030 | 0.040 | 0.050 |
结论
从文献和作者的模拟中，作者得出结论，当使用异方差一致标准误差时，zui重要的考虑是对您想要估计的每个参数（回归）进行许多观察。此外，每当您担心标准错误的有效性时，您应该查看拟合模型所隐含的杠杆点。杠杆率接近1应该是令人担忧的原因。仿真表明，非常高的杠杆点产生的VCE估计值不接近理想的拒绝率。
参考文献：
Angrist, J. D., and J.-S. Pischke. 2009. Mostly Harmless Econometrics: An Empiricist’s Companion. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Cattaneo, M. D., M. Jansson, and W. K. Newey. 2018. Inference in linear regression models with many covariates and heteroscedasticity.
Journal of the American Statistical Association113: 1350–1361. https://doi.org/10.1080/01621459.2017.1328360.
Chesher, A., and I. Jewitt. 1987. The bias of a heteroskedasticity consistent covariance matrix estimator.
Econometrica55: 1217–1222. https://doi.org/10.2307/1911269.
Chesher, A., and G. Austin. 1991. The finite-sample distributions of heteroskedasticity robust Wald statistics.
Journal of Econometrics47: 153–173. https://doi.org/10.1016/0304-4076(91)90082-O.
Long, J. S., and L. H. Ervin. 2000. Using heteroscedasticity consistent standard errors in the linear regression model.
American Statistician54: 217–224. https://doi.org/10.2307/2685594.
MacKinnon, J. G. 2012. Thirty years of heteroscedasticity-robust inference. In
Recent Advances and Future Directions in Causality, Prediction, and Specification Analysis, ed. X. Chen, and N. R. Swanson, 437–461. New York: Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-1653-1_17.
MacKinnon, J., and H. White. 1985. Some heteroskedasticity-consistent covariance matrix estimators with improved finite sample properties.
Journal of Econometrics29: 305–325. https://doi.org/10.1016/0304-4076(85)90158-7.
White, H. 1980. A heteroskedasticity-consistent covariance matrix estimator and a direct test for heteroskedasticity.
Econometrica48: 817–838. https://doi.org/10.2307/1912934
附录：文件和模拟（阅读原文获得数据链接）
对于MacKinnon型模拟，每个样本大小和异方差级别都有一个文件。有许多方法可以使用下列这些文件运行模拟。Stata提供了每一个，以便那些想要使用它们的人能够决定哪种方式是zui好的。
例如，对于样本大小N=100，文件被命名为
gamma_05_100.do
gamma_1_100.do
gamma_15_100.do
gamma_20_100.do
第一个下划线后面的数字表示异方差的级别。第二个下划线后面的数字表示样本大小。
对于Long和Erwin型模拟。有:
long_100.do
long_1000.do
long_5000.do
第一个下划线后面的数字表示样本大小。
对于Angrist和Pischke类型的模拟，命名约定与Long和Erwin情况相同。
harmless_100.do
harmless_300.do
harmless_1000.do
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